選手としての一歩をチリのクラブ、コローコロで歩みだした。最初はディフェンダーとしてプレーしていたが、カデテカテゴリーの時に、GKとしてプレーさせてくれ、と監督に頼み込んだ。
ブインのコローコロ（チリ）の下部カテゴリーで育ち、2002年に１９才でチリの１部デビューを果たした。
2006 年６月にレアル・ソシエダへ移籍した。同年１０月２２日にマジョルカとの対戦でデビューを果たし、スコアレスドローに終えた。最後の試合は、アノエタで行なったアトレティコ・デ・マドリード戦であり、レアル・ソシエダは2-0 で勝利を収めた。
2009年に２部のレアル・ソシエダでサモラ賞を獲得した。
ブラボは、 2010 年2月14日に初ゴールを決めた。レアル・ソシエダ対ヒムナスティック・デ・タラゴナ戦であり、エリア正面から蹴ったFKがゴールを突き刺した。
2008年にマルセロ・サラスが引退した後、チリの代表キャプテンに選ばれた。
ブラボは、生まれ故郷に彼の名前をつけた通りがある。2010年南アフリカワールドカップをチリ代表とプレーした後、ブインの一つの通りに、クラウディオ・ブラボの名前がつけられた。
2010年南アフリカワールドカップの予選リーグ全試合に参戦したチリ代表の唯一の選手だ。また、前ワールドカップで４試合ともスタメンGKとしてプレーした。
2010年11月28日にスポルティング戦でクラウディオ・ブラボはレアル・ソシエダにて百試合目を迎えて、ダルコ・コバセビッチ、バレリ・カルピン、メオ・コドロルなどの他の栄誉ある外国人選手を肩を並べた。
2013年９月10日、ブラボはチリ代表の歴史となった。 ネルソン・タピアのチリ代表参戦数 (74)を超えて、現在、レオネル・サンチェス (84)に次いで、チリ代表選手の最多試合数ランキング２位だ。
